CONJUNTO Z

Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.

Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenesCon todo,la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).

Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)

Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ej : -3 + -8 = - 11 ( sumo y conservo el signo)

12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo que significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ej : -7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5 ¿con cuál signo queda?. El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un numero positivo).

5 + -51 = - 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

-14 + 34 = 20

Resta en Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a) Cambiar el signo de la resta en suma

b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej: -3 ¾ 10 = -3 + - 10 = -13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)

19 ¾ - 16 = 19 + ⁺ 16 = 19 + 16 = 35

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

+ · + = +

- · - = +

+ · - = -

- · + = -

Ej: -5 · -10 = 50 ( 5 · 10 = 50 ; - · - = + )

12 · - 4 = -48 ( 12 · 4 = 48 : + · - = - )

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de esta otras operaciones).

POTENCIAS

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

	Exponente	Se puede leer: tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta
3 . 3 . 3 . 3 = 34
	Base

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 ⁶ (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Ejemplos:

2 ⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

3 ² = 3 · 3 = 9 El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.

5 ⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.

Una potencia puede representarse en forma general como:

an = a · a · a · ........

Donde: a = base n = exponente “ n” factores iguales

Finalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

Potencia de base entera y exponente natural

Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a Z ) (léase a pertenece a zeta) significa que puede tomar valores positivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).

Potencia de base entera positiva:

Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

(+a) n = +a n

Ejemplos:

(⁺4) ³ = 4³ = 4 · 4 · 4 = 64 = ⁺ 64 Exponente impar

(⁺3) ⁴ = 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 = ⁺81 Exponente par

Potencia de base entera negativa:

Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.

a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.

(_ a) n (par) = +a n

Ejemplos:

(^_5) ² = ^_5 · ^_5 = ⁺25 = 25 ^_ · ^_ = +

(^_2) ⁸ = ^_2 · ^_2 · ^_2 · ^_2 · ^_2 · ^_2 · ^_2 · ^_2 = ⁺256 = 256

b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.

(_a) n (impar) = _a n

Ejemplos:

(^_2) ³ = ^_2 · ^_2 · ^_2 = ^_8

(^_3) ³ = ^_3 · ^_3 · ^_3 = ^_27

En resumen:

Base	Exponente	Potencia
Positiva	Par	Positiva
Positiva	Impar	Positiva
Negativa	Par	Positiva
Negativa	Impar	Negativa

Multiplicación de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.

a m · a n = a m+n

Ejemplos:

1) 2 3· 2 2 = 2 3 + 2 = 2 5

2) 3 4· 3 6 = 3 4 + 6 = 3 10

3) (-4) 1 · (-4) 2 = (-4) 1+2 = (-4) 3

Multiplicación de potencias de distinta base y distinto exponente

Para hacerlo, se multiplican las bases entre sí y se suman los exponentes.

División de potencias de igual base

Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.

am : a n = a m – n

Ejemplos:

1)

2)

3)

División de potencias de distinta base y distinto exponente

Para hacerlo, se dividen las bases y se restan los exponentes.

Potencia elevada a potencia

Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

(a m ) n = a m *n

Ejemplos:

1) ( 2 ³ )² = 2 ^{3 × 2} = 2 ⁶

2) ( 3 ² )² = 3 ^{2 × 2} = 3 ⁴

Potencia de base racional y exponente entero:

Sea la base (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales ( Q ), donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n Z). Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.

Ejemplos:

1)

2)

3)

Potencia de exponente negativo:

Si es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,

Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.

Ejemplos:

1)

2)

3)

FIGURAS GEOMÉTRICAS

En la geometría, como disciplina, se distinguen componentes tales como el plano, el punto, la línea -recta, curva, quebrada-, la superficie, el segmento y otros de cuya combinación nacen todas las figuras geométricas.

El patio de tu escuela, una cancha de fútbol, los muebles de una casa o una tuerca son algunos de los innumerables ejemplos en donde se pueden apreciar figuras geométricas.

Entonces, una figura geométrica (también se la puede denominar lugar geométrico) corresponde a un espacio cerrado por líneas o por superficies.

Las figuras geométricas de lados rectos se denominan polígonos y las figuras de lados curvos se denominan círculo y circunferencia y corresponden también a polígonos.

Es importante recordar que las formas sólidas o tridimensionales corresponden a los cuerpos geométricos y se denominan poliedros, como el cubo y la pirámide, y a los cuerpos redondos, como la esfera y el cilindro.

Según las características de las figuras geométricas (polígonos) se pueden establecer varias clasificaciones.

Según la medida de sus lados y ángulos, los polígonos pueden ser regulares e irregulares.

Un polígono es regular si todos sus lados poseen la misma longitud y si todos sus ángulos son iguales.

Ejemplos:

Polígonos regulares

Un polígono es irregular si todos sus lados tienen longitudes diferentes al igual que la medida de sus ángulos.

Ejemplos:

Lados diferentes	Ángulos diferentes

De acuerdo con sus ángulos interiores, los polígonos pueden ser convexos y cóncavos.

Un polígono es convexo cuando todos sus ángulos interiores son menores a 180°

Ejemplo:

En el polígono ABCDE cada uno de sus ángulos interires es menor de 180º

Un polígono es cóncavo, si tiene al menos un ángulo interior mayor de 180 °

Ejemplo:

El ángulo interior T del polígono RSTU es mayor de 180ª

Ahora bien, según el número de lados que posean (el número de lados es igual al número de ángulos que tiene la figura) los polígono se pueden clasificar de la siguiente manera:

Nombre	Número de lados
Triángulo	3
Cuadrilátero	4
Pentágono	5
Hexágono	6
Heptágono	7
Octágono	8
Eneágono	9
Decágono	10
Undecágono	11
Dodecágono	12

Los demás polígonos simplemente se nombran indicando el número de lados que lo forman; polígono de trece lados, de catorce lados, etc., a excepción del polígono de veinte lados que también recibe un nombre específico (icoságono).

Triángulos

Veamos en seguida lo referente al polígono de tres lados, llamado triángulo.

Los triángulos se clasifican según la medida de sus lados en:

Triángulo equilátero: el que tiene sus 3 lados iguales.

Triángulo isósceles: el que tiene 2 de sus lados de igual medida.

Triángulo escaleno: el que tiene sus 3 lados de distinta medida.

Los triángulos también se pueden clasificar según la medida de sus ángulos en:

Triángulo acutángulo: el que tiene sus 3 ángulos agudos (menores de 90º)

Triángulo rectángulo: el que tiene 1 ángulo recto (90º)

Triángulo obtusángulo: el que tiene 1 ángulo obtuso (mayor de 90º y menos que 180º)

Cuadriláteros

Otro de los polígonos muy populares son los cuadriláteros, los cuales se clasifican en:

Paralelógramos: son aquellos que tiene 2 pares de lados paralelos (cuadrado, rectángulo, rombo y romboide)

Trapecios: son aquellos que tienen 1 par de lados paralelos

trapecio isósceles: 2 lados de igual medida, 2 ángulos basales iguales

trapecio trisolátero: 3 lados de igual medida, 2 pares de ángulos basales iguales

trapecio rectángulo: ángulos basales rectos (90º)

trapecio escaleno: lados y ángulos de distinta medida

Trapezoides: No tienen lados paralelos

trapezoide simétrico: 2 lados de igual medida

trapezoide asimétrico: todos los lados de distinta medida

Conocer las características de los polígonos ayuda para el estudio de muchos temas como perímetros y áreas entre otros.

A MIS QUERIDOS ALUMNOS Y ALUMNAS DEL WASHINGTON CENTER

Chicos y Chicas,

No es la forma por la cual hubiese preferido despedirme, pero lamentablemente las cosas se dieron así, quiero antes que todo agradecerles por todo el cariño que me dieron, gracias a ustedes pude fortalecer mi vocación de servicio, ya se los he dicho muchas veces y espero que no se les olvide nunca, a mi me encanta enseñar, me encanta mi profesión y soy muy feliz haciendo esto.

Les quiero pedir que sigan siendo tan buenos niños y niñas, que se esfuercen mucho en la asignatura, como se los dije siempre, la matemática no es difícil, sabiendo entenderla va todo bien...

Aprovechen a su profesora, para que sigan aprendiendo y mejorando día a día, ustedes se lo merecen, por mi parte, si necesitan cualquier tipo de ayuda no duden en mandarme un email y yo les respondo apenas pueda...

Quiero decirles ahora que terminé este ciclo con ustedes, que todos fueron mis mejores alumnos y alumnas, todos son especiales, desde los más tranquilos hasta los más desordenados... estoy muy orgulloso de haber logrado en ustedes este sentimiento, con esto puedo confirmar que se puede educar no siendo pesado... aunque a veces me sacaron de mis casillas y me tuve que poner Shrek para mis cosas... jejeje

Finalmente, todos ustedes saben que yo creo mucho en Diosito, así que pongo mi camino en él y además aprovechando la buena onda que tenemos, le pido que me los cuide para que no les pase nada, ni se metan en problemas...

Un abrazo a la distancia, y nos vemos en cualquier momento...

Con mucho cariño,


Francisco Norambuena
Profesor de Matemáticas

¿CÓMO RESOLVER FRACCIONES?

Si el denominador es igual en todas las fracciones se suman o se restan respectivamente:

1/4 + 1/4 = 2/4
2/4 - 1/4 = 1/4

Si los denominadores son diferentes entonces tienes que encontrar el mcm (minimo comun multiplo) que es un numero divisible entre todos los denominadores:

1/2 + 1/3

En este ejemplo tienes que encontrar un numero que se divida entre 2 y 3, entre mas pequeño sea ese numero mejor; en este caso ese numero es 6. El mcm es el no.6 pero ahora tienes que igualar los numeradores, esto es muy facil. primero divides el mcm entre el denominador por el numerador:

1/2 + 1/3 = (6/2= 3x1= 3) (6/3= 2x1= 2)

entonces te queda: 3/6 + 2/6 = 5/6

Si estas restando la operacion es igual:

1/2 - 1/3 = (6/2= 3x1= 3) (6/3= 2x1= 2)
y te quedaria: 3/6 - 2/6 = 1/6

Ahora si tu lo que quieres es multiplicar, no recuerdo bien, x], pero creo que tienes que multiplicar en sicsag. (o como se escriba XP):

1 x 1 x 2 x 3 =

Aqui tienes que multiplicar el 1 del primer quebrado por el cuatro del segundo, es decir, numerador por denominador por numerador por denominador, etc... y queda 1x4x2x5 y el resultado tambien es en sigsag, es decir, el resultado es el numerador. igual es con el denominador, multiplicarias 2x1x3x3 y el resultado es el denominador. entonces te queda:

1 x 1 x 2 x 3 = 40

¿CÓMO RESOLVER ECUACIONES?

Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones separadas por un signo igual. La expresión a la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la expresión a la derecha.

Una o ambas expresiones pueden contener variables. Resolver una ecuación implica trabajar con las expresiones y encontrar el valor de las variables.

Ejemplo:

Resolver la ecuación: 7x = 21

Para que la ecuación se mantenga igual, debes aplicar la misma operación a ambos lados de la ecuación. Si multiplicamos (o dividimos)un lado por una cantidad, debemos multiplicar (o dividir) el otro lado por la misma cantidad.

Esta ecuación se puede resolver dividiendo ambos lados por 7.

La ecuación sería 7x/7 = 21/7

Esto se puede simplificar a x = 21/7 o x = 3

Puedes verificar tu cálculo sustituyendo el valor de x en la ecuación original.

(7*3=21).

PORCENTAJE

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “de cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %. Por ejemplo: "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32 % y significa treinta y dos de cada cien.


El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba "P cento" (c. 1425).


El porcentaje es un tanto por ciento (cien unidades), por lo que se concluye que es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de cien.



REVISA EL SIGUIENTE FLASH SOBRE PORCENTAJES HACIENDO CLIC SOBRE LA IMAGEN DE PORCENTAJE UBICADA AL PRINCIPIO.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1) N = Conjunto de los Números Naturales
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

• Tiene un número infinito de elementos
• Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
• El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).
  

2) N* = N 0 = Conjunto de los Números Cardinales
N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}

Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

3) Z = Conjunto de los Números Enteros
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos

Z Tiene 3 Subconjuntos:

• Enteros Negativos: Z ¯
• Enteros Positivos: Z +
• Enteros Positivos y el Cero: Z 0+
  

Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

Z = Z ¯ U {0} U Z +

4) Q = Conjunto de los Números Racionales

Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z).

Se expresa por comprensión como:

Q = { a /b tal que a y b Z; y b 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

5) I = Q* = Conjunto de Números Irracionales
I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos: 1,4142135....
0,10200300004000005....

NÚMEROS ENTEROS

Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.

Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenesCon todo,la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)

Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.

Las reglas a memorizar son las siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.
Ej : -3 + -8 = - 11 ( sumo y conservo el signo)
12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo que significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ej : -7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5 ¿con cuál signo queda?.

El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un numero positivo).

5 + -51 = - 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
-14 + 34 = 20

Resta en Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a) Cambiar el signo de la resta en suma
b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej: -3 ¾ 10 = -3 + - 10 = -13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)
19 ¾ - 16 = 19 + + 16 = 19 + 16 = 35

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

+ · + = +
- · - = +
+ · - = -
- · + = -

Ej: -5 · -10 = 50 ( 5 · 10 = 50 ; - · - = + )
12 · - 4 = -48 ( 12 · 4 = 48 : + · - = - )

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de esta otras operaciones).

NÚMEROS NATURALES

Los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban y se utilizan para contar elementos de un conjunto finito, ya que se procede a enumerar dichos números de una manera ordenada, seleccionándolos uno tras otro a la vez que se le atribuye a cada uno un número. Los números naturales sirven para contar y ordenar fundamentalmente.

El nombre “Números Naturales” seguramente proviene debido a que estos números son los que aparecen por primera vez en el proceso natural de contar o enumerar los objetos de un conjunto. Los símbolos 1, 2, 3, .... etc., se llaman numerales hindú-arábigos.

Los Números naturales empiezan en el UNO y pueden llegar a cualquier cifra, pues siempre es posible agregar uno más. El CERO no se incluye en los naturales.

Los hindúes hicieron grandes y valiosos aportes en matemáticas a la humanidad. Los sacerdotes hindúes inventaron los números que usamos, llamados arábigos por ser los árabes quienes los divulgaron. Los contactos comerciales entre la India y el imperio construido por los árabes favorecieron que éstos últimos adoptaran tanto el sistema de numeración hindú como sus signos numerales, contribuyendo luego decisivamente a difundirlos en Occidente.

Además, los hindúes inventaron el valor de la cifra cero (en el siglo IX el cero ya era de uso común en los textos hindúes), muchas nociones sobre decimales, nuestro sistema de valorar un número según el lugar que ocupa en el conjunto de varias cifras y los fundamentos del álgebra y la trigonometría. Al inventarse el CERO, éste más los naturales formaron el Conjunto de los Números Cardinales.

Historia del cero

Hasta el año 1200 después de Cristo, se usó en Europa la numeración romana. Por esa época, un mercader de Pisa, Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci, al volver de un largo viaje por África y Oriente Medio escribió un libro titulado Liber Absci, donde exponía y proponía emplear el sistema de numeración utilizado por los árabes, que a su vez lo habían aprendido de los hindúes. Sus ventajas más importantes eran la utilización del cero y el sistema posicional de notación.

La obra de Leonardo Pisano tuvo que esperar a la invención de la imprenta para que llegara a ser conocida en toda Europa.

Es interesante señalar que ya los mayas, en el siglo V, tenían la noción del cero, número que empleaban en su sistema de numeración vigesimal. El número cero es una de las grandes invenciones del genio humano, ya que facilita la ejecución de las operaciones aritméticas.
Su introducción en Europa permitió el progresivo abandono de la numeración romana vigente hasta la Edad Media. Puede comprobarse la importancia del cero, si se si hacen los cálculos corrientes utilizando los números romanos. Se verá que el más sencillo cálculo aritmético se ha convertido en algebraico.