CILINDRO
CONO TRUNCADO
CUBO
DODECAEDRO
ESFERA
ICOSAEDRO
OCTAEDRO
PARALELEPÍPEDO
PIRÁMIDE HEXAGONAL
PIRÁMIDE CUADRANGULAR
PIRÁMIDE TRIÁNGULAR
PIRÁMIDE OCTAGONAL
PIRÁMIDE PENTAGONAL
PIRÁMIDE TRUNCADA
PRISMA HEXAGONAL
PRISMA TRIÁNGULAR
PRISMA PENTAGONAL
PRISMA RECTANGULAR
TETRAEDRO
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.-
Los siguientes criterios nos permiten saber de forma sencilla, sin necesidad de realizar una división, si un número es divisible por otro.
| NÚMERO | REGLA DE DIVISIBILIDAD | EJEMPLOS |
| Son divisibles por 1 | Todos los números | |
| Son divisibles por 2 | Los números que terminan en cero o cifra par | 20, 202, 354, 3356, 2468,... |
| Son divisibles por 3 | Los números cuyas cifras suman 3 o múltiplo de 3 (al sumar pueden descartarse las cifras 0, 3, 6 y 9) | 111, 213, 1233, 3321,... |
| Son divisibles por 4 | Los números cuyas dos últimas cifras son 00 o múltiplo de cuatro (12, 16, 20, 24,...) | 12312, 987624,... |
| Son divisibles por 5 | Los números terminados en 0 ó 5 | 10, 15, 60, 75, 90, 105,... |
| Son divisibles por 6 | Los números divisibles por 2 y por 3 | 132, 654,... |
| Son divisibles por 8 | Los números cuyas tres últimas cifras son 000 o múltiplo de ocho | 12000, 12520,... |
| Son divisibles por 9 | Los números cuyas cifras suman 9 o múltiplo de 9 (al sumar pueden descartarse las cifras 0 y 9) | 32090310, 6073002,... |
| Son divisibles por 10 | Los números terminados en cero | 10, 20, 100, 210, 3450,... |
| Son divisibles por 11 | Los números en los que la suma de las cifras de lugar par, menos la suma de las cifras de lugar impar (o viceversa) da 0 ó múltiplo de 11 (11, 22, 33,...) | 4356781 (la suma de las cifras de lugar par da 17, la suma de las cifras de lugar impar da 17, la diferencia es 0) |
| Son divisibles por 12 | Los números divisibles por 3 y por 4 | 132, 624,... |
| Son divisibles por 14 | Los números divisibles por 2 y por 7 | 910, 1372,... |
| Son divisibles por 15 | Los números divisibles por 3 y por 5 | 90, 540,... |
| Son divisibles por 18 | Los números divisibles por 2 y por 9 | 53514, 3264120 |
| Son divisibles por 25 | Los números terminados en 00 o múltiplos de 25 (25, 50 y 75) | 100, 125, 250, 375,... |
| Son divisibles por 100 | Los números terminados en 00 | 100, 200, 34500,... |
LAS CIFRAS
Desde la antigüedad el hombre ha inventado métodos para poder contar las cosas. Los romanos utilizaron algunas letras mayúsculas del alfabeto latino (I, V, X, L, C, D, M) para representar números.
Nosotros representamos los números mediante unos símbolos o signos denominados cifras. Nuestro sistema actual de numeración utiliza diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9, que también se llaman dígitos, por su relación con el número de dedos de las manos.
Estas diez cifras son de origen indo-arábigo (hindú y árabe). Los árabes usaban las cifras del 1 al 9 y, en sus relaciones comerciales con la India, conocieron que los matemáticos hindúes usaban el cero y lo incorporaron a su sistema de numeración que es el que usamos actualmente.
Los hindúes denominaban al cero «sunya» que quiere decir «vacío». Los árabes lo denominaron «sifr» (vacío en árabe). Esta palabra árabe, nombre del cero, se aplicó posteriormente a las demás cifras, dando origen a las palabras castellanas cero y cifra.
LOS NÚMEROS NATURALES
Con sólo diez cifras podemos formar cualquier numero de nuestro sistema de numeración. El conjunto de todos estos números se denomina «Números Naturales» y se representa con la letra N.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14...}
La cantidad de números naturales es infinita, porque siempre es posible agregar un número más. No existe un número que sea el mayor de todos.
NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN
Un Sistema de numeración es un conjunto de normas que se emplean para escribir y expresar cualquier número. Nuestro Sistema de numeración tiene dos características fundamentales: es decimal y posicional.
1. DECIMAL, porque utilizamos 10 cifras para construir todos los números. Por lo tanto 1 unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior y a la inversa 10 unidades de cualquier orden constituyen 1 unidad del orden inmediato superior. Cuando en un número no hay algún orden de unidades se completa su lugar con la cifra cero. Por ejemplo: 1 centena equivale a 10 decenas y 10 centenas equivalen a 1 millar (Ver tabla 1).
Se denomina base de un Sistema de Numeración al número de unidades de un orden inferior que forman una unidad del orden inmediatamente superior. Nuestro Sistema de Numeración es decimal, por tanto, de base diez. El Sistema decimal de numeración ha sido usado por la humanidad desde tiempos muy remotos porque para contar cosas el hombre siempre ha empleado los diez dedos de las manos.
| Tabla 1. Sistema decimal | ||
| Unidades de primer orden | Unidades (U) | |
| Unidades de segundo orden | Decenas (D) | = 10 U |
| Unidades de tercer orden | Centenas (C) | = 10 D |
| Unidades de cuarto orden | Unidades de millar (UM) | = 10 C |
| Unidades de quinto orden | Decenas de millar (DM) | = 10 UM |
| Unidades de sexto orden | Centenas de millar (CM) | = 10 DM |
| Unidades de séptimo orden | Unidades de millón (UM1) | = 10 CM |
| Unidades de octavo orden | Decenas de millón (DM1) | = 10 UM1 |
| Unidades de noveno orden | Centenas de millón (CM1) | = 10 DM1 |
| Unidades de décimo orden | Unidades de mil de millón (UMM) | = 10 CM1 |
| Unidades de undécimo orden | Decenas de mil de millón (DMM) | = 10 UMM |
| Unidades de duodécimo orden | Centenas de mil de millón (CMM) | = 10 DMM |
| Unidades de décimotercer orden | Unidades de billón | = 10 CMM |
| Unidades de decimonoveno orden | Unidades de trillón | = 1 millón de billones |
| Unidades de vigésimo quinto orden | Unidades de cuatrillón | = 1 millón de trillones |
2. POSICIONAL, porque el valor que representa cada cifra depende de la posición que ocupa dentro del número. Por ejemplo en el número 853.963 aparece dos veces la cifra «tres» y tiene distinto valor dependiendo de su posición dentro del número. Contando de derecha a izquierda el primer tres representa las unidades y equivale, por lo tanto, a tres unidades. En cambio el segundo tres representa las unidades de millar y equivale, por lo tanto, a tres mil unidades.
LEER NÚMEROS NATURALES
Para leer los números se realizarán las siguientes operaciones:
1º) El número se divide en grupos de seis cifras, empezando de derecha a izquierda. Entre el primer grupo de seis cifras y el segundo se intercala el subíndice 1, entre el segundo grupo de seis cifras y el tercero se intercala el subíndice 2, entre el tercer grupo de seis cifras y el cuarto se intercala el subíndice 3 y así sucesivamente.
2º) Cada grupo de seis cifras se divide, mediante un punto, en dos grupos de tres cifras.
3º) Se comienza a leer el número por la izquierda leyendo la palabra trillón al llegar al subíndice 3, la palabra billón al llegar al subíndice 2, la palabra millón al llegar al subíndice 1 y la palabra mil cada vez que llegamos a un punto.
Por ejemplo, para leer el número 32478965290765638946126 lo primero que haremos será dividirlo en grupos de 6 cifras contando de derecha a izquierda:
32478396529027656381946126
A continuación dividiremos cada grupo de 6 cifras, en dos grupos de 3 cifras cada uno, mediante un punto:
32.4783965.2902765.6381946.126
Ahora es fácil leer el número, sólo deberemos intercalar la palabra mil en todos los puntos y las palabras trillón en el subíndice 3, la palabra billón en el subíndice 2 y la palabra millón en el subíndice 1: «treinta y dos mil cuatrocientos setenta y ocho trillones, novecientos sesenta y cinco mil doscientos noventa billones, setecientos sesenta y cinco mil seiscientos treinta y ocho millones, novecientos cuarenta y seis mil ciento veintiséis».
Otros ejemplos:
467 = Cuatrocientos sesenta y siete.
5.916 = Cinco mil novecientos dieciséis.
305.982 = Trescientos cinco mil, novecientos ochenta y dos.
61456.872 = Seis millones, cuatrocientos cincuenta y seis mil, ochocientos setenta y dos.
Los números hasta el 30 inclusive se escriben con letras en una sola palabra y a partir del 31 en dos palabras. Por ejemplo: dieciséis, diecisiete, veintiuno, veintidós, veinticinco, veintinueve, treinta y uno, treinta y dos.
| CONCEPTO.- Los cuadrados mágicos son distribuciones de números en celdas que se disponen formando un cuadrado, de forma que la suma de cualquiera de las filas, de cualquiera de las columnas y de las dos diagonales principales da siempre el mismo resultado. Al número resultante se le denomina «constante mágica». |
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TIPOS DE CUADRADOS MÁGICOS.-
Si el cuadrado mágico tiene tres filas y tres columnas, es decir nueve casillas y por lo tanto nueve números, se denomina cuadrado mágico de orden tres.
Si el cuadrado mágico tiene cuatro filas y cuatro columnas, es decir dieciséis casillas y dieciséis números, se denomina cuadrado mágico de orden cuatro.
Si el cuadrado mágico tiene cinco filas y cinco columnas, es decir veinticinco casillas y veinticinco números, se denomina cuadrado mágico de orden cinco.
En general, si el cuadrado mágico tiene "n" filas y "n" columnas, es decir n2 casillas y n2 números, se denominará cuadrado mágico de orden "n".
No existen cuadrados mágicos de orden dos.
HISTORIA DE LOS CUADRADOS MÁGICOS.-
El origen de los cuadrados mágicos es muy antiguo, anterior a la era cristiana. Una leyenda china cuenta que alrededor del año 2200 a. C. el emperador Yu vio a las orillas del río Amarillo un cuadrado mágico grabado en el caparazón de una tortuga. Se denominó «LO-SHU» y se le atribuyeron propiedades mágicas y religiosas.
En Occidente los cuadrados mágicos aparecen por primera vez en el año 130 d.C. en los trabajos del astrónomo griego Teón de Esmirna.
Alrededor de 1300 d.C. los cuadrados mágicos se usaron en Europa para predecir el futuro, curar enfermedades y como amuletos para prevenir plagas y maleficios. Incluso en algunas cortes europeas se grabaron cuadrados mágicos en los platos para prevenir posibles envenenamientos a los comensales.
En el Renacimiento, los cuadrados mágicos se estudiaron desde el punto de vista matemático y varios científicos y artistas los usaron como ilustraciones para sus obras.
Con el paso del tiempo científicos y matemáticos estudiaron sus propiedades matemáticas. Benjamín Franklin dedicó mucho tiempo a estudiar y crear cuadrados mágicos.
ALGUNOS CUADRADOS MÁGICOS.-
| De orden tres
| De orden cuatro
| De orden cinco
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ACTIVIDADES QUE PROPONEMOS PARA NIÑOS DE DIEZ O MÁS AÑOS DE EDAD.-
1) En un cuadrado mágico de orden tres coloca los números del 1 al 9 de forma que la constante mágica sea 15.
2) En un cuadrado mágico de orden tres coloca los números del 4 al 12 de forma que la constante mágica sea 24.
3) En un cuadrado mágico de orden cuatro coloca los números del 1 al 16 de forma que la constante mágica sea 34.
4) En un cuadrado mágico de orden cinco coloca los números del 1 al 25 de forma que la constante mágica sea 65.
5) Completa los siguientes cuadrados mágicos:
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¡Papá, papá!, ¿me haces el problema de matemáticas?
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– Me di cuenta de que iba a suspender las matemáticas cuando un día el profesor dijo en clase "Sea un épsilon menor que 37", y de repente todo el mundo se echó a reír.
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En mitad de una conferencia de matemáticas, un participante levanta la mano y dice: - ¡Tengo un contraejemplo para ese teorema! A lo que el conferenciante responde: - No importa, yo tengo dos pruebas.
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Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax2 + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !
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Definición matemática de mujer: "Conjunto de curvas peligrosas que ponen recta una parábola"
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¿Cuántos lados tiene un círculo? Dos, el de dentro y el de fuera.
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¿Qué es un niño complejo?
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¿Por qué se suicidó el libro de matemática?
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Dos rectas paralelas se intersectan siempre y cuando el punto de intersección sea lo suficientemente gordo
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- Tú que eres matemático: ¿crees en Dios? - Si, salvo isomorfismos. |
| 1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321 | 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = 12345654321 11111112 = 1234567654321 111111112 = 123456787654321 1111111112 = 12345678987654321 |
Algunas pirámides de números:
| 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 123456789 x 9 + 10 = 1111111111 | 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 |
1 = kiñe
2 = epu
3 = küla
4 = meli
5 = kechu
6 = kayu
7 = regle
8 = pura
9 = aylla
10 = mari
11 = mari kiñe
12 = mari epu
20 = epu mari
21 = epu mari kiñe
40 = meli mari
72 = regle mari epu
100 = pataka
1.000=warangka
Los números mayores que 10 se expresan según la siguiente regla:
La cantidad que se agrega al número 10 se suma a éste, si a la expresión 10 se le antepone otra, se multiplica por ella, lo mismo ocurre con 100 y 1.000
1. – Escribe en mapudungun, idioma de los mapuches:
a) 120 = __________________________________________________
b) 623 = __________________________________________________
c) 57 = __________________________________________________
d) 1.999 = __________________________________________________
2. – Traduce al sistema de numeración decimal:
a) kiñe pataka epu mari meli = ______________
b) meli mari meli = ______________
c) epu warangka kiñe = ______________
3. – Escribe en mapudungun:
a) tu edad: _____________________________
b) la edad de tu mamá: _________________________
c) la edad de tu papá: __________________________
d) el número 77: ______________________
e) el número 93: ______________________
f) tu número secreto: _____________________
4. – Observa la siguiente tabla, complétala y encierra con rojo el número menor y con azul el mayor.
Número mapuche | Número decimal |
| Kiñe warangka aylla pataka aylla mari regle | |
| Pura pataka kechu mari regle | |
| Küla warangka kayu pataka meli mari | |
| Kayu mari kayu | |
| Regle pataka aylla mari pura | |
Querido trapezoide:
Le sorprenderá que por primera vez alguien le haga una declaración de amor y ésta no provenga de una figura plana. Su pertinaz vivencia en el plano le ha mantenido siempre al margen de lo que ocurre por arriba o por abajo, enfrente o detrás. Digámoslo claramente: yo lo conocí hace años pero usted aún no se había enterado, hasta hoy, de mi presencia. Debo pues empezar por el principio y darle noticia de cómo fue nuestro primer encuentro.
Ocurrió una tarde de otoño lluviosa. Una de estas tardes de octubre en que llueve a cántaros, los cristales de los colegíos quedan humedecidos y los escolares sin recreo. Usted estaba quieto en una página avanzada de un libro grueso que era nuestra pesadilla continua. Me acuerdo aún perfectamente. Página 77, al final hacia la derecha, Fue al abrir esta página, siguiendo la orden directa de la señorita Francisca, nuestra maestra, cuando lo vi por primera vez. Allí estaba usted entre los de su familia, un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un trapecio, un rombo, un romboide,... y ¡el trapezoide!. Un perfil grueso delimitaba sus desiguales lados y sus extraños ángulos. La señorita Francisca se fue exaltando a medida que nos iba narrando las grandes virtudes de sus colegas cuadriláteros... que si igualdades laterales, que si paralelismos, que si ángulos, que si diagonales... y el rato fue pasando y la señorita seguía sin decir nada. Como las señoritas acostumbran a no explicar lo más interesante, a mí se me ocurrió preguntarle
- Señorita... ¿y el trapezoide?
- Éste -replicó la maestra- éste es el que no tiene nada
- ¿Nada de nada? - le repliqué
- Sí, nada de nada - me contestó
... y sonó el timbre. Quedé fascinado: usted era un pobre, muy pobre cuadrilátero. Estaba allí, tenía nombre, pero nada más. Por eso a la mañana siguiente volví a insistir en el tema a la señorita.
Durante aquella época yo creí intuir que matemáticas y cosas sexuales debían tener algo en común pues siempre se nos pedía esperar a ser mayores para “verlo”.
A usted ya no lo vi más, hasta que en Bachillerato don Ramiro nos obsequió con una fórmula muy larga para calcular su área. Esto me enfadó enormemente. Usted había pasado del "nada de nada” al "todo de todo". A partir de entonces empecé a pronunciar su "oide” final con especial desprecio “¡trapez-OIDE!".
Nuestro siguiente encuentro tuvo lugar en una calle. De pronto miro el pavimento y descubro con horror que le estoy pisando. Di un salto y me quedé mirando. ¡Que maravilla! Después de tantos años sobre mosaicos llenos de ángulos rectos allí estaba usted. El "nada de nada” era ahora una loseta. Dibujé aquel suelo y entonces marqué los puntos medios de sus lados y empecé a trazar rectas y una maravilla de paralelogramos nacieron enmarcando su repetición. La señorita Francisca tenía razón en lo difícil que es tratarlo pero no la tenía en le del "nada de nada”.
Y ahora al final de la declaración sólo me queda pedirle una cosa. Por favor no diga nunca a nadie que yo hice esta declaración. Guarde esto en el centro del paralelogramo inscrito que le acompaña. Yo guardaré su recuerdo, dibujándolo en todas las reuniones. Los amores imposibles al menos tienen la virtud de ser duraderos. Suyo.
En cierto libro de matemática, un cociente se enamoró de una incógnita. Él (cociente), producto de una familia de importantísimos polinomios. Ella, una simple incógnita, de mezquina ecuación literal ¡oh! ¡Qué tremenda desigualdad! Pero como todos saben, el amor no tiene límites y va del más infinito al menos infinito. Embargado, el cociente la contempló desde el vértice hasta la base, bajo todos los ángulos, agudos y obtusos. Era linda, una figura impar que se evidenciaba por: mirada romboidal, boca trapezoidal y senos esféricos en un cuerpo cilíndrico de líneas sinusoidales. ¿Quién eres? preguntó el cociente con una mirada radical. Soy la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. Pero puedes llamarme hipotenusa - contestó ella con expresión algebraica de quien ama. Él hizo de su vida una paralela a la de ella, hasta que se encontraron en el infinito. Y se amaron hasta el cuadrado de la velocidad de la luz, dejando al sabor del momento y de la pasión, rectas y curvas en los jardines de la cuarta dimensión. Él la amaba y el recíproco era verdadero. Se adoraban con las mismas razones y proporciones en un intervalo abierto de la vida. Luego de tres cuadrantes, resolvieron casarse. Trazaron planes para el futuro y todos le desearon felicidad integral. Los padrinos fueron el vector y la bisectriz. Todo marchaba sobre ejes. El amor crecía en progresión geométrica. Cuando ella estaba en sus coordenadas positivas, concibió un par: al varón, en homenaje al padrino lo bautizaron versor; la niña, una linda abscisa. Ella fue objeto de dos operaciones. Eran felices, hasta que un día todo se volvió una constante. Fue así que apareció otro. Sí, otro. El máximo común divisor, un frecuentador de círculos viciosos. Lo mínimo que el máximo ofreció fue de una magnitud absoluta. Ella se sintió impropia, pero amaba al máximo. Al saber de esta regla de tres, el cociente la llamó fracción ordinaria. Sintiéndose un denominador común , resolvió aplicar la solución trivial: un punto de discontinuidad en sus vidas. Cuando los dos amantes estaban en coloquio, él, en términos menores y ella en combinación lineal, llegó el cociente y en un giro sin limites disparó su 45. Ella pasó al espacio imaginativo y el fue a pasar a un intervalo cerrado, donde la luz solar se veía a través de pequeñas mallas cuadradas. |
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Autor anónimo |
