REDES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

CILINDRO

CONO TRUNCADO

CUBO

DODECAEDRO

ESFERA

ICOSAEDRO

OCTAEDRO

PARALELEPÍPEDO

PIRÁMIDE HEXAGONAL

PIRÁMIDE CUADRANGULAR

PIRÁMIDE TRIÁNGULAR

PIRÁMIDE OCTAGONAL

PIRÁMIDE PENTAGONAL

PIRÁMIDE TRUNCADA

PRISMA HEXAGONAL

PRISMA TRIÁNGULAR

PRISMA PENTAGONAL

PRISMA RECTANGULAR

TETRAEDRO

REDES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

A continuación presentamos algunas redes de las cuerpos geométricos más importantes que a nuestro parecer están en nuestro medio, llámese paisaje natural, y cultural.

Tú también puedes construir estos cuerpos.

POLIEDROS:

Poliedros irregulares: (Prisma recto, prisma trunco, paralelepípedo)

Poliedros regulares: (Tetraedro, hexaedro, octaedro, Dodecaedro, Icosaedro)

REVOLUCIÓN:

Cilindros: (cilindros rectos, cilindros oblicuos)

Conos: (conos inclinados, cono tronco inclinado)

Esféricos: (esfera, segmentos, husos)

También tenemos toro, túnel, elipsoide)

DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.-
Los siguientes criterios nos permiten saber de forma sencilla, sin necesidad de realizar una división, si un número es divisible por otro.

NÚMERO	REGLA DE DIVISIBILIDAD	EJEMPLOS
Son divisibles por 1	Todos los números
Son divisibles por 2	Los números que terminan en cero o cifra par	20, 202, 354, 3356, 2468,...
Son divisibles por 3	Los números cuyas cifras suman 3 o múltiplo de 3 (al sumar pueden descartarse las cifras 0, 3, 6 y 9)	111, 213, 1233, 3321,...
Son divisibles por 4	Los números cuyas dos últimas cifras son 00 o múltiplo de cuatro (12, 16, 20, 24,...)	12312, 987624,...
Son divisibles por 5	Los números terminados en 0 ó 5	10, 15, 60, 75, 90, 105,...
Son divisibles por 6	Los números divisibles por 2 y por 3	132, 654,...
Son divisibles por 8	Los números cuyas tres últimas cifras son 000 o múltiplo de ocho	12000, 12520,...
Son divisibles por 9	Los números cuyas cifras suman 9 o múltiplo de 9 (al sumar pueden descartarse las cifras 0 y 9)	32090310, 6073002,...
Son divisibles por 10	Los números terminados en cero	10, 20, 100, 210, 3450,...
Son divisibles por 11	Los números en los que la suma de las cifras de lugar par, menos la suma de las cifras de lugar impar (o viceversa) da 0 ó múltiplo de 11 (11, 22, 33,...)	4356781 (la suma de las cifras de lugar par da 17, la suma de las cifras de lugar impar da 17, la diferencia es 0)
Son divisibles por 12	Los números divisibles por 3 y por 4	132, 624,...
Son divisibles por 14	Los números divisibles por 2 y por 7	910, 1372,...
Son divisibles por 15	Los números divisibles por 3 y por 5	90, 540,...
Son divisibles por 18	Los números divisibles por 2 y por 9	53514, 3264120
Son divisibles por 25	Los números terminados en 00 o múltiplos de 25 (25, 50 y 75)	100, 125, 250, 375,...
Son divisibles por 100	Los números terminados en 00	100, 200, 34500,...

LOS NÚMEROS NATURALES

LAS CIFRAS
Desde la antigüedad el hombre ha inventado métodos para poder contar las cosas. Los romanos utilizaron algunas letras mayúsculas del alfabeto latino (I, V, X, L, C, D, M) para representar números.
Nosotros representamos los números mediante unos símbolos o signos denominados cifras. Nuestro sistema actual de numeración utiliza diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9, que también se llaman dígitos, por su relación con el número de dedos de las manos.

Estas diez cifras son de origen indo-arábigo (hindú y árabe). Los árabes usaban las cifras del 1 al 9 y, en sus relaciones comerciales con la India, conocieron que los matemáticos hindúes usaban el cero y lo incorporaron a su sistema de numeración que es el que usamos actualmente.
Los hindúes denominaban al cero «sunya» que quiere decir «vacío». Los árabes lo denominaron «sifr» (vacío en árabe). Esta palabra árabe, nombre del cero, se aplicó posteriormente a las demás cifras, dando origen a las palabras castellanas cero y cifra.

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LOS NÚMEROS NATURALES
Con sólo diez cifras podemos formar cualquier numero de nuestro sistema de numeración. El conjunto de todos estos números se denomina «Números Naturales» y se representa con la letra N.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14...}
La cantidad de números naturales es infinita, porque siempre es posible agregar un número más. No existe un número que sea el mayor de todos.

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NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN
Un Sistema de numeración es un conjunto de normas que se emplean para escribir y expresar cualquier número. Nuestro Sistema de numeración tiene dos características fundamentales: es decimal y posicional.

1. DECIMAL, porque utilizamos 10 cifras para construir todos los números. Por lo tanto 1 unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior y a la inversa 10 unidades de cualquier orden constituyen 1 unidad del orden inmediato superior. Cuando en un número no hay algún orden de unidades se completa su lugar con la cifra cero. Por ejemplo: 1 centena equivale a 10 decenas y 10 centenas equivalen a 1 millar (Ver tabla 1).

Se denomina base de un Sistema de Numeración al número de unidades de un orden inferior que forman una unidad del orden inmediatamente superior. Nuestro Sistema de Numeración es decimal, por tanto, de base diez. El Sistema decimal de numeración ha sido usado por la humanidad desde tiempos muy remotos porque para contar cosas el hombre siempre ha empleado los diez dedos de las manos.

Tabla 1. Sistema decimal
Unidades de primer orden	Unidades (U)
Unidades de segundo orden	Decenas (D)	= 10 U
Unidades de tercer orden	Centenas (C)	= 10 D
Unidades de cuarto orden	Unidades de millar (UM)	= 10 C
Unidades de quinto orden	Decenas de millar (DM)	= 10 UM
Unidades de sexto orden	Centenas de millar (CM)	= 10 DM
Unidades de séptimo orden	Unidades de millón (UM1)	= 10 CM
Unidades de octavo orden	Decenas de millón (DM1)	= 10 UM1
Unidades de noveno orden	Centenas de millón (CM1)	= 10 DM1
Unidades de décimo orden	Unidades de mil de millón (UMM)	= 10 CM1
Unidades de undécimo orden	Decenas de mil de millón (DMM)	= 10 UMM
Unidades de duodécimo orden	Centenas de mil de millón (CMM)	= 10 DMM
Unidades de décimotercer orden	Unidades de billón	= 10 CMM
Unidades de decimonoveno orden	Unidades de trillón	= 1 millón de billones
Unidades de vigésimo quinto orden	Unidades de cuatrillón	= 1 millón de trillones

2. POSICIONAL, porque el valor que representa cada cifra depende de la posición que ocupa dentro del número. Por ejemplo en el número 853.963 aparece dos veces la cifra «tres» y tiene distinto valor dependiendo de su posición dentro del número. Contando de derecha a izquierda el primer tres representa las unidades y equivale, por lo tanto, a tres unidades. En cambio el segundo tres representa las unidades de millar y equivale, por lo tanto, a tres mil unidades.

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LEER NÚMEROS NATURALES
Para leer los números se realizarán las siguientes operaciones:
1º) El número se divide en grupos de seis cifras, empezando de derecha a izquierda. Entre el primer grupo de seis cifras y el segundo se intercala el subíndice 1, entre el segundo grupo de seis cifras y el tercero se intercala el subíndice 2, entre el tercer grupo de seis cifras y el cuarto se intercala el subíndice 3 y así sucesivamente.
2º) Cada grupo de seis cifras se divide, mediante un punto, en dos grupos de tres cifras.
3º) Se comienza a leer el número por la izquierda leyendo la palabra trillón al llegar al subíndice 3, la palabra billón al llegar al subíndice 2, la palabra millón al llegar al subíndice 1 y la palabra mil cada vez que llegamos a un punto.
Por ejemplo, para leer el número 32478965290765638946126 lo primero que haremos será dividirlo en grupos de 6 cifras contando de derecha a izquierda:

32478₃965290₂765638₁946126

A continuación dividiremos cada grupo de 6 cifras, en dos grupos de 3 cifras cada uno, mediante un punto:

32.478₃965.290₂765.638₁946.126

Ahora es fácil leer el número, sólo deberemos intercalar la palabra mil en todos los puntos y las palabras trillón en el subíndice 3, la palabra billón en el subíndice 2 y la palabra millón en el subíndice 1: «treinta y dos mil cuatrocientos setenta y ocho trillones, novecientos sesenta y cinco mil doscientos noventa billones, setecientos sesenta y cinco mil seiscientos treinta y ocho millones, novecientos cuarenta y seis mil ciento veintiséis».

Otros ejemplos:
467 = Cuatrocientos sesenta y siete.
5.916 = Cinco mil novecientos dieciséis.
305.982 = Trescientos cinco mil, novecientos ochenta y dos.
6₁456.872 = Seis millones, cuatrocientos cincuenta y seis mil, ochocientos setenta y dos.

Los números hasta el 30 inclusive se escriben con letras en una sola palabra y a partir del 31 en dos palabras. Por ejemplo: dieciséis, diecisiete, veintiuno, veintidós, veinticinco, veintinueve, treinta y uno, treinta y dos.

CUADRADOS MÁGICOS

CONCEPTO.- Los cuadrados mágicos son distribuciones de números en celdas que se disponen formando un cuadrado, de forma que la suma de cualquiera de las filas, de cualquiera de las columnas y de las dos diagonales principales da siempre el mismo resultado. Al número resultante se le denomina «constante mágica». Por ejemplo, en el siguiente cuadrado mágico se han dispuesto los números del 1 al 9. Puede comprobarse que su «constante mágica» es 15, es decir, la suma de sus filas, columnas y diagonales es 15.

8 3 4 1 5 9 6 7 2

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TIPOS DE CUADRADOS MÁGICOS.-

Si el cuadrado mágico tiene tres filas y tres columnas, es decir nueve casillas y por lo tanto nueve números, se denomina cuadrado mágico de orden tres.

Si el cuadrado mágico tiene cuatro filas y cuatro columnas, es decir dieciséis casillas y dieciséis números, se denomina cuadrado mágico de orden cuatro.

Si el cuadrado mágico tiene cinco filas y cinco columnas, es decir veinticinco casillas y veinticinco números, se denomina cuadrado mágico de orden cinco.

En general, si el cuadrado mágico tiene "n" filas y "n" columnas, es decir n² casillas y n² números, se denominará cuadrado mágico de orden "n".

No existen cuadrados mágicos de orden dos.

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HISTORIA DE LOS CUADRADOS MÁGICOS.-

El origen de los cuadrados mágicos es muy antiguo, anterior a la era cristiana. Una leyenda china cuenta que alrededor del año 2200 a. C. el emperador Yu vio a las orillas del río Amarillo un cuadrado mágico grabado en el caparazón de una tortuga. Se denominó «LO-SHU» y se le atribuyeron propiedades mágicas y religiosas.
En Occidente los cuadrados mágicos aparecen por primera vez en el año 130 d.C. en los trabajos del astrónomo griego Teón de Esmirna.
Alrededor de 1300 d.C. los cuadrados mágicos se usaron en Europa para predecir el futuro, curar enfermedades y como amuletos para prevenir plagas y maleficios. Incluso en algunas cortes europeas se grabaron cuadrados mágicos en los platos para prevenir posibles envenenamientos a los comensales.
En el Renacimiento, los cuadrados mágicos se estudiaron desde el punto de vista matemático y varios científicos y artistas los usaron como ilustraciones para sus obras.
Con el paso del tiempo científicos y matemáticos estudiaron sus propiedades matemáticas. Benjamín Franklin dedicó mucho tiempo a estudiar y crear cuadrados mágicos.

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ALGUNOS CUADRADOS MÁGICOS.-

De orden tres 2 9 4 7 5 3 6 1 8

De orden cuatro 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

De orden cinco 3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 25 13 1 19 24 12 5 18 6 11 4 17 10 23

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ACTIVIDADES QUE PROPONEMOS PARA NIÑOS DE DIEZ O MÁS AÑOS DE EDAD.-

1) En un cuadrado mágico de orden tres coloca los números del 1 al 9 de forma que la constante mágica sea 15.

2) En un cuadrado mágico de orden tres coloca los números del 4 al 12 de forma que la constante mágica sea 24.

3) En un cuadrado mágico de orden cuatro coloca los números del 1 al 16 de forma que la constante mágica sea 34.

4) En un cuadrado mágico de orden cinco coloca los números del 1 al 25 de forma que la constante mágica sea 65.

5) Completa los siguientes cuadrados mágicos:

9 2 3 8 1

4 8 10 12 16

16 3 5 11 8 9 6 12 15 1

EL ALCOHOLISMO

Llegar a convertise en una persona dependiente del alcohol o alcohólico es un proceso. Puede tomar varios años y se pasa por tres etapas:

1.Etapa pre-alcohólica

• La persona aprovecha todas las ocasiones para beber que se presentan en el grupo social.
• Bebe a escondidas, más que en grupo.
• Evita hablar sobre alcohol.
• Siente ocasionalmente culpa y remordimientos.
• Tiene lagunas mentales después de ingerir cantidades medias de alcohol, sin haber mostrado signos de intoxicación.
• Convierte todas las circunstancias en pretextos para beber.
• Bebe con avidez y/o de un solo golpe.
  

2. Etapa alcohólica

• No puede detenerse cuando se pone a beber.
• Pierde el control sobre la bebida.
• Se altera fácilmente.
  Tiene períodos de euforia y tiempos de depresión.
• Los sentimientos se apaciguan.
  Se despreocupa de sí mismo.
• No le importa cómo anda, cómo se viste. Descuida su aspecto y vestuario.
• Niega tener problemas con el alcohol.
  

3. Fase Avanzada Crónica

• Aunque esté botado y delirante, niega tener problemas con el alcohol.
• Tiene síndromes físicos de la enfermedad.
• Tiene complicaciones psiquiátricas.
• Tiene complicaciones crónicas:
  
• Pancreatitis.
  Hepatitis.
  Cirrosis hepática.
  Insuficiencia cardíaca.
  Abscesos pulmonares.
  Polineuritis.
  Miopatías.
  Alteraciones cutáneas
  Deficiencias nutricionales.
  Lesiones en el sistema nervioso central
  Complicaciones psiquiátricas y conductuales.

DROGADICTOS

¿QUÉ ES LA DROGADICCIÓN?

Podemos entender a la drogadicción, como aquella enfermedad que consiste en la adicción o dependencia a ciertas sustancia tóxicas para nuestro organismo, las cuales afectan en distintos grados a nuestro sistema nerviosos central, al igual que varias de nuestras funciones cerebrales. Todo lo anteriormente manifestado, produce efectos a nivel fisiológico y psíquico, que se manifiestan en alteraciones del comportamiento, de las emociones, de el juicio y la percepción del medio ambiente que nos rodea.

El consumos drogas, dependiendo del tipo en cuestión, lleva a que la persona padezca de euforia y/o alucinaciones, y en los momentos de abstinencia se experimenta desesperación, angustia y depresión. En algunos casos extremos de drogadicción, el consumo de drogas puede llevar a la locura permanente y/o la muerte de la persona.

Con respecto a la historia de la drogadicción, podemos señalar que el uso de las drogas no es sólo una cuestión del presente o de décadas recientes, sino que podemos encontrar sugerencias de su uso desde la prehistoria. En el siglo II después de Cristo, los galenos utilizaban al opio, como una forma de aquietar el dolor de los enfermos.

Asimismo, los derivados del cannabis, fueron utilizados hace muchísimos años atrás. Es así, como varios siglos antes de la era actual, en China, Asiria y la India, estos eran utilizados como una forma de alcanzar estados de éxtasis o supuestos estados subliminales. Muchas culturas utilizaron las drogas con fines rituales, pero en ambientes altamente controlados y sólo por personas especialmente designadas. Por estos motivos no se conoce que existieran casos de dependencia a estas substancias.

Más adelante, a mediados del siglo XIX, irrumpió con fuerza el consumo de la morfina. Principalmente, por medio de la invención de la jeringa, en el año de 1850. Muchos de los adictos, comenzaban a utilizarla, como una manera de calmar sus dolores fisiológicos, pero muchos terminaron siendo adictos a la misma.

Más adelante, ya en el siglo XX, aparecería la heroína y la cocaína. La heroína, nace por como un derivado de la morfina, la cual fue utilizada como calmante, durante la Primera Guerra Mundial. La heroína, en fuertes dosis, es mucho más tóxica que la morfina y produce una dependencia física, bastante más fuerte que la morfina. Es así, como la heroína, es la droga que causa la mayor cantidad de muertes, por medio de sobredosis mortales.

Con respecto a la cocaína, se puede mencionar que esta también debió su difusión al interés médico que generó en sus inicios, porque de hecho se trató del primer anestésico local verdaderamente eficaz. Este descubrimiento, como tal, fue utilizado por Segmund Freud, quien utilizaba pequeñas dosis de cocaína, para anestesiar zonas específicas en el cuerpo. Su trabajo al respecto, llegó a oídos de un oftalmólogo, llamado Koeller, quien probó las cualidades anestésicas de la cocaína, en una incisión realizada en el ojo de una animal, lo cual resultó un completo éxito. Es así, como hoy en día se reconoce a Koeller, como quien descubrió esta capacidad de la cocaína. Aquello ocurría a mediados de 1914. Lamentablemente hoy conocemos a la cocaína por los terribles efectos que produce en el adicto, y en el círculo de personas que lo rodean.

En cuanto a la dependencia característica de la drogadicción, esta puede ser de dos tipos. Tenemos la dependencia psíquica y la física. Con respecto a la dependencia psíquica, se señala que esta se debe, al fuerte estado de euforia que producen la mayoría de las drogas existentes, lo que es utilizado como un vehículo para evadir la realidad. Es así, como el drogadicto necesitará constantemente consumir drogas, para poder evadirse y mantener en alto, el estado de euforia anteriormente señalado. Por lo mismo, si no logra conseguirlas, la persona sufrirá de un fuerte quiebre emocional. En cuanto a la dependencia física, esta se basa en un proceso fisiológico, ya que es el cuerpo el que se hace dependiente, de manera directa, del consumo de drogas. Esto es lo mismo, que les ocurre a las personas que sufren de tabaquismo, las cuales de manera fisiológica, se hacen dependientes de la nicotina. Es por lo mismo, que la persona que consume drogas y es drogadicta, sufriendo de dependencia física, sentirá fuertes trastornos fisiológicos, al minuto de interrumpir la ingesta de drogas. Esto en términos médicos, es ampliamente conocido como síndrome de abstinencia.

Ahora estudiaremos algunas de las drogas más utilizadas. La heroína es una droga en forma de polvo, el cual es cristalino, blanco, inodoro y muy fino. La heroína, por lo general, es consumida por medio de comprimidos o aspirada por la nariz, aún cuando la manera más recurrente, es de manera líquida, introducida al torrente sanguíneo a través de inyecciones. Con respecto a sus efectos, estos son los mismos que los de la morfina, pero potenciados. Su efecto principal, es la depresión del sistema nervioso central. Produce dependencia psíquica y fisiológica, aparte de crear una rápida tolerancia del organismo, lo que lleva a desear dosis cada vez mayores.

Por otra parte, tenemos al clorhidrato de cocaína. Dentro de sus componentes, está la acetona, el ácido clorhídrico, cloroformo, metimetilo acetona, eter etílico y gas cloruro de hidrógeno. La cocaína es un estimulante del sistema nervioso central y produce euforia, sensación de gran fuerza física, y excitación, entre otros efectos. La cocaína, se introduce al organismo, por medio de las vías respiratorias. La dependencia que produce es principalmente psíquica, por los estados de euforia y aumento de la autoestima que produce. Puede producir alteraciones al sistema cardiovascular y/o al respiratorio. Si se introduce por medio del torrente sanguíneo, puede producir una fuerte dependencia física. Su consumo continuo, puede producir, fuertes estados de paranoia. Los cuales no cesan al interrumpir su consumo. Hasta 1903 el extracto de la hoja de cocaina estuvo presente en la fórmula de la Coca-Cola, pero fue reempazado por cafeína, al comenzar a conocerse ampliamente los peligros en el consumo de la droga.

De igual manera, tenemos al crack, el cual es un derivado de la cocaína. Este se forma por medio del clorhidrato de cocaína, el cual es mezclado con carbonato de sodio y agua. A esta mezcla, se le aplica un fuerte golpe de calor, y luego, se le aplica un rápido golpe de frió. Con esto, la mezcla anteriormente señalada, se cristaliza. Estos cristales, son luego fumados usando pipas de agua. Sus efectos son muchísimo más potentes que los de la cocaína. Por lo mismo, es una de las drogas, que más rápidamente puede producir adicción. Por todo esto, el peligro de una sobredosis, está bastante más latente, que con otras drogas.

También tenemos a las anfetaminas, las drogas más utilizadas, para provocar estados de euforia, entre los drogadictos. Son altamente utilizadas, como un medio de apaciguar el hambre, el cansancio y la fatiga. El problema, es que una vez acabados sus efectos, las anfetaminas provocan fuertes cuadros de cansancio y depresión. Si una persona se intoxica con las mismas, puede presentar alucinaciones, irritabilidad, insomnio y confusión mental. Al consumir dosis, mayores a los 30 miligramos, puede producirse la muerte de quien las ingiere. La dependencia de las anfetaminas, es psíquica.

Dentro de los alucinógenos más conocidos, está el LSD-25. Más conocido como “ácido”. El LSD, proviene de un hongo, el cual se llama cornezuelo de centeno. La forma más usual de consumirlo, es por medio de papel secante, en forma de cuadrados, que se coloca en zonas de alta irrigación sanguínea, como debajo de la lengua.

El LSD, no crea dependencia física, sino que psíquica. Uno de los puntos más graves en el consumo del LSD, es que puede provocar alucinaciones, sin haber sido ingerido, en las últimas horas. Lo que ordinariamente, se conoce como “flashback”. Como efectos adversos, tenemos ideas suicidas, tendencias sumamente agresivas, fuertes delirios de persecución, etc.

Las sustancias psicoactivas o adictivas pueden actuar en el sistema nervioso central, en virtud de la existencia de ciertos componentes de la superficie de la célula cerebral, conocidos como receptores, sobre los cuales se fijan, para luego actuar sobre el interior de la célula nerviosa.

Así, entonces, en cuanto al mecanismo de acción, la cocaína incrementa la liberación hacia el torrente sanguíneo de dopamina, una de las sustancias que permiten la transmisión de los impulsos nerviosos. Los opiáceos (derivados del opio) disminuyen la actividad de un tipo particular de neuronas (noradrenérgicas), con lo que se produce un incremento de la actividad generada por la adrenalina, lo cual se traduce en excitación general del organismo, y se manifiesta, por ejemplo, con dilatación de las pupilas e incremento del ritmo cardíaco.

Los alucinógenos como LSD (ácido lisérgico) activan las vías que utilizan serotonina como neurotransmisor y que controla funciones tales como el apetito y el control de los impulsos. De ahí que los adictos al LSD sean protagonistas de historias de crímenes violentos.

Las benzodiazepinas y los barbitúricos, entre tanto, actúan sobre el ácido GABA, una sustancia que tiene funciones inhibidoras en numerosos circuitos del sistema nervioso central.

Dentro de los cambios en el comportamiento, que podrían sugerir que una persona sufre de drogadicción, están los siguientes:

-Exceso de mal humor. Irritabilidad. Susceptibilidad.
-Repentina caída en el rendimiento académico o laboral.
-Descuido en el aspecto y aseo personal.
-Desaparición de objetos de valor o dinero en casa.
-Temblores, insomnio, aspecto somnoliento o adormilado, lenguaje incoherente.
-Depresión, apatía, desgano, falta de motivación.
-Incapacidad de cumplir con las responsabilidades.
-Aislamiento del grupo habitual de amigos.
-Hábitos antisociales, como mentir, robar o pelear.
-Crisis nerviosas.
-Pérdida del apetito.

Con respecto a los tratamientos a seguir, para que una persona drogadicta, deje su adicción, estos por lo general son multidisciplinarios y se requiere del compromiso del adicto. Lo que generalmente se recomienda, con respecto a éste punto, es lo siguiente:

-No hay un solo tratamiento que sea apropiado para todas las personas.
-El tratamiento debe estar fácilmente disponible en todo momento.
-El tratamiento efectivo debe abarcar las múltiples necesidades de la persona, no solamente su uso de drogas.
-El plan de tratamiento del paciente debe ser continuamente evaluado y, de ser el caso, modificado para asegurar que el plan se mantenga a la par con los cambios en las necesidades de la persona.
-Para que el tratamiento sea efectivo, es esencial que el paciente lo continúe durante un período adecuado de tiempo.
-La terapia individual y/o de grupo y otros tipos de terapias de comportamiento constituyen componentes críticos del tratamiento efectivo para la adicción. En este respecto uno de los programas más usados es el de los 12 pasos (en inglés twelve step program), que consiste en grupos de apoyo. La versión de este programa para alcohólicos es conocido como el grupo de Alcohólicos Anónimos.
-Para muchos pacientes, los medicamentos conforman un elemento importante del tratamiento, especialmente cuando se combinan con los diferentes tipos de terapia.
-En el caso de individuos con problemas de adicción o abuso de drogas que al mismo tiempo tienen trastornos mentales, se deben tratar los dos problemas de una manera integrada.
-La desintoxicación médica es solamente la primera etapa del tratamiento para la adicción y por sí misma hace poco para eliminar el abuso de drogas a largo plazo.
-El tratamiento no tiene que ser voluntario para ser efectivo.
-El posible uso de drogas durante el tratamiento debe ser constantemente supervisado.
-Los programas de tratamiento deben incluir exámenes para el VIH/SIDA, la hepatitis b y c, la tuberculosis y otras enfermedades infecciosas, conjuntamente con la terapia necesaria para ayudar a los pacientes a modificar o cambiar aquellos comportamientos que les ponen a ellos o a otros en riesgo de ser infectados.
-La recuperación de la drogadicción puede ser un proceso a largo plazo y frecuentemente requiere múltiples rondas de tratamientos.

Como hemos podido revisar, la drogadicción es una enfermedad con terribles consecuencias para las personas, por lo que a los primeros indicios de la misma se debe consultar a un especialista en el campo.

CHISTES MATEMÁTICOS

­¡Papá, papá!, ¿me haces el problema de matemáticas? -No hijo, no estaría bien. -Bueno, inténtalo de todas formas.

– Me di cuenta de que iba a suspender las matemáticas cuando un día el profesor dijo en clase "Sea un épsilon menor que 37", y de repente todo el mundo se echó a reír.

En mitad de una conferencia de matemáticas, un participante levanta la mano y dice: - ¡Tengo un contraejemplo para ese teorema! A lo que el conferenciante responde: - No importa, yo tengo dos pruebas.

Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax2 + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

Definición matemática de mujer: "Conjunto de curvas peligrosas que ponen recta una parábola"

¿Cuántos lados tiene un círculo? Dos, el de dentro y el de fuera.

¿Qué es un niño complejo? Un niño con la madre real y el padre imaginario.

¿Por qué se suicidó el libro de matemática? Porque tenía demasiados problemas.

Dos rectas paralelas se intersectan siempre y cuando el punto de intersección sea lo suficientemente gordo

- Tú que eres matemático: ¿crees en Dios? - Si, salvo isomorfismos.

ALGUNAS PIRÁMIDES - SEGUNDA PARTE

1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321

12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = 12345654321 11111112 = 1234567654321 111111112 = 123456787654321 1111111112 = 12345678987654321

ALGUNAS PIRÁMIDES

Algunas pirámides de números:

1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 123456789 x 9 + 10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888

CONJUNTO Z

Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.

Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenesCon todo,la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).

Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)

Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ej : -3 + -8 = - 11 ( sumo y conservo el signo)

12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo que significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ej : -7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5 ¿con cuál signo queda?. El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un numero positivo).

5 + -51 = - 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

-14 + 34 = 20

Resta en Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a) Cambiar el signo de la resta en suma

b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej: -3 ¾ 10 = -3 + - 10 = -13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)

19 ¾ - 16 = 19 + ⁺ 16 = 19 + 16 = 35

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

+ · + = +

- · - = +

+ · - = -

- · + = -

Ej: -5 · -10 = 50 ( 5 · 10 = 50 ; - · - = + )

12 · - 4 = -48 ( 12 · 4 = 48 : + · - = - )

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de esta otras operaciones).

ESTADÍSTICA

La palabra "estadística" suele utilizarse bajo dos significados distintos:

1º Como colección de datos numéricos.

Esto es el significado más vulgar de la palabra estadística. Se sobrentiende que dichos datos numéricos han de estar presentados de manera ordenada y sistemática. Una información numérica cualquiera puede no constituir una estadística, para merecer este apelativo, los datos han de constituir un conjunto coherente, establecido de forma sistemática y siguiendo un criterio de ordenación.

2º Como ciencia.

En este significado, la Estadística estudia el comportamiento de los fenómenos de masas. Como todas las ciencias, busca las características generales de un colectivo y prescinde de las particulares de cada elemento. Así por ejemplo al investigar el sexo de los nacimientos, iniciaremos el trabajo tomando un grupo numeroso de nacimientos y obtener después la proporción de varones. Es muy frecuente enfrentarnos con fenómenos en los que es muy difícil predecir el resultado; así, no podemos dar una lista con las personas que van a morir con una cierta edad, o el sexo de un nuevo ser hasta que transcurra un determinado tiempo de embarazo.

Por tanto, el objetivo de la estadística es hallar las regularidades que se encuentran en los fenómenos de masa. (Ver Historia de la Estadística)

Población, elementos y caracteres.

Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que denominaremos población.

Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En sentido estadístico un elemento puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo.

A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico. Así por ejemplo si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella los siguientes caracteres:

Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesión, Peso, Altura, Color de pelo, etc.

Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más aspectos cualidades o caracteres.

La población puede ser según su tamaño de dos tipos:

Población finita: cuando el número de elementos que la forman es finito, por ejemplo el número de alumnos de un centro de enseñanza, o grupo clase.

Población infinita: cuando el número de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesen considerarse infinitos. Como por ejemplo si se realizase un estudio sobre los productos que hay en el mercado. Hay tantos y de tantas calidades que esta población podría considerarse infinita.

Ahora bien, normalmente en un estudio estadístico no se puede trabajar con todos los elementos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma.

Este subconjunto puede ser una muestra, cuando se toman un determinado número de elementos de la población, sin que en principio tengan nada en común; o una subpoblación, que es el subconjunto de la población formado por los elementos de la población que comparten una determinada característica, por ejemplo de los alumnos del centro la subpoblación formada por los alumnos de 3º Medio o la subpoblación de los varones.

Variables y atributos.

Como hemos visto, los caracteres de un elemento pueden ser de muy diversos tipos, por lo que los podemos clasificar en: dos grandes clases:

Variables Cuantitativas.

Variables Cualitativas o Atributos.

Las variables cuantitativas son las que se describen por medio de números, como por ejemplo el peso, altura, edad, número de suspendidos…

A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases:

• Cuantitativas discretas. Aquellas a las que se les puede asociar un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad, por ejemplo número de hermanos, páginas de un libro, etc.
• Cuantitativas continuas: Aquellas que no se pueden expresar mediante un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores cualesquiera la variable pueda tomar cualquier valor intermedio, por ejemplo peso, tiempo. etc.

No obstante en muchos casos el tratamiento estadístico hace que a variables discretas las trabajemos como si fuesen continuas y viceversa.

Los atributos son aquellos caracteres que para su definición precisan de palabras, es decir, no le podemos asignar un número. Por ejemplo sexo, profesión, estado civil, etc.

A su vez las podemos clasificar en:

• Ordenables: Aquellas que sugieren una ordenación, por ejemplo la graduación militar, el nivel de estudios, etc.
• No ordenables: Aquellas que sólo admiten una mera ordenación alfabética, pero no establece orden por su naturaleza, por ejemplo el color de pelo, sexo, estado civil, etc.

Distintos Tipos de Frecuencia:

Una de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la tabulación de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una tabla en la que a cada valor de la variable se le asocian determinados números que representan el número de veces que ha aparecido, su proporción con respecto a otros valores de la variable, etc. Estos números se denominan frecuencias: Así tenemos los siguientes tipos de frecuencia:

Frecuencia absoluta:

La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por n_i

Frecuencia relativa:

La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por f_i

Donde N = Tamaño de la muestra

Frecuencia Absoluta Acumulada:

Para poder calcular este tipo de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable estadística ha de ser cuantitativa o cualitativa ordenable. En otro caso no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable y lo representaremos por N_i.

Frecuencia Relativa Acumulada:

Al igual que en el caso anterior la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra, y la denotaremos por F_i

Porcentaje Acumulado:

Análogamente se define el Porcentaje Acumulado y lo vamos a denotar por P_i como la frecuencia relativa acumulada multiplicada por 100.

Ejemplo:

Cuando se manejan conjuntos extensos de datos, el procedimiento preliminar más adecuado consiste en distribuirlos en clases o categorías de acuerdo con el número de casos que pertenecen a cada una de dichas clases.

Por ejemplo, se quiere estudiar el puntaje que alcanzan los alumnos universitarios en la asignatura de Educación Física. La escala de notas va del 0% al 100%, obteniéndose la siguiente colección de valores:

75- 82 - 68 - 90 - 62 - 88 - 88 - 73

60- 93 - 71 - 59 - 75 - 87 - 74 - 62

95- 78 - 82 - 75 - 94 - 77 - 69 - 74

89- 83 - 75 - 95 - 60 - 79 - 97 - 97

78- 85 - 76 - 65 - 73 - 67 - 88 - 78

62- 76 - 73 - 81 - 72 - 63 - 76 - 75

Para facilitar el análisis de los datos, éstos se ordenan en forma creciente, es decir, de menor a mayor (también puede ordenarse en forma decreciente).

El modo más sencillo de agrupar los datos, es mediante una tabla de datos, que indique, para cada uno de los valores de la colección, el número de veces que aparece, es decir, su frecuencia de aparición.

Distribuciones de frecuencia

Frecuencia absoluta (n_i): corresponde al número de veces que se observa dicho valor, o en otras palabras al número de veces que se presenta un cierto dato.

Para agrupar los datos por su frecuencia, se deben seguir los siguientes pasos:

1) Se ordenan los datos en orden creciente o decreciente.

2) Se cuenta la frecuencia absoluta de cada valor (cuántas veces se repite cada magnitud)

De acuerdo a los datos anteriores, se observa que el número menor es 59 y el número mayor es 97.

Puntaje	Frecuencia absoluta (ni)
59	1
60	2
61	0
62	3
63	1
64	0
65	1
66	0
67	1
68	1
69	1
70	0
71	1
72	1
73	3
74	2
75	5
76	3
77	1
78	3
79	1
80	0
81	1
82	2
83	1
84	0
85	1
86	0
87	1
88	3
89	1
90	1
91	0
92	0
93	1
94	1
95	2
96	0
97	2
Frecuencia total	(N) 48

La Tabla de distribución de frecuencias hecha anteriormente sirve para facilitar el estudio de los valores estadísticos. El puntaje corresponde a la variable estadística (primera columna) y las veces que se repite la variable (segunda columna), a la frecuencia absoluta.

Frecuencia total (F): corresponde la suma de las frecuencias absolutas de cada uno de los valores de la variable.

Una vez que se ha construido la Tabla de distribución de frecuencias, ésta debe ampliarse con otras tres columnas más, que corresponderán a la frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa y frecuencia porcentual.

Frecuencia absoluta Acumulada (N_i ): es la suma de las frecuencias absolutas de cada intervalo. La frecuencia acumulada hasta el último intervalo es igual a la frecuencia total de toda la distribución.

Si se amplía la Tabla de distribución del ejemplo, la frecuencia absoluta acumulada se obtiene sumando el número que está escrito en una línea con el número de la línea siguiente.

Puntaje	Frecuencia absoluta (ni )	Frecuencia absoluta acumulada (Ni)
59	1	1
60	2	3
61	0	3
62	3	6
63	1	7
64	0	7
65	1	8
66	0	8
67	1	9
68	1	10
69	1	11
70	0	11
71	1	12
72	1	13
73	3	16
74	2	18
75	5	23
76	3	26
77	1	27
78	3	30
79	1	31
80	0	31
81	1	32
82	2	34
83	1	35
84	0	35
85	1	36
86	0	36
87	1	37
88	3	40
89	1	41
90	1	42
91	0	42
92	0	42
93	1	43
94	1	44
95	2	46
96	0	46
97	2	48
Frecuencia total	(N) 48

La frecuencia absoluta acumulada sirve para responder, por ejemplo, la siguiente pregunta: ¿Cuántos alumnos obtuvieron nota inferior a 80?; la respuesta es 31 alumnos.

Frecuencia relativa (f_i): >corresponde a la razón (división) entre la frecuencia absoluta (n_i) y el número total (N) de individuos de la población.

Puntaje	Frecuencia absoluta (ni )	Frecuencia absoluta acumulada (Ni)	Frecuencia relativa (fi )
59	1	1	0,02083 (1 : 48)
60	2	3	0,0416 (2 : 48)
61	0	3	0
62	3	6	0,0625
63	1	7	0,02083
64	0	7	0
65	1	8	0,02083
66	0	8	0
67	1	9	0,02083
68	1	10	0,02083
69	1	11	0,02083
70	0	11	0
71	1	12	0,02083
72	1	13	0,02083
73	3	16	0,0625
74	2	18	0,0416
75	5	23	0,10416
76	3	26	0,0625
77	1	27	0,02083
78	3	30	0,0625
79	1	31	0,02083
80	0	31	0
81	1	32	0,02083
82	2	34	0,0416
83	1	35	0,02083
84	0	35	0
85	1	36	0,02083
86	0	36	0
87	1	37	0,02083
88	3	40	0,0625
89	1	41	0,02083
90	1	42	0,02083
91	0	42	0
92	0	42	0
93	1	43	0,02083
94	1	44	0,02083
95	2	46	0, 0416
96	0	46	0
97	2	48	0,0416
Frecuencia total	(N) 48		1

La suma de las frecuencias relativas es 1

Frecuencia relativa porcentual: es la frecuencia relativa expresada en porcentajes (%)

Pi	=	f i	●	100
		N

Puntaje	(ni )	(Ni)	(fi )	% (Pi %)
59	1	1	0,02083 (1 : 48)	2,083
60	2	3	0,0416 (2 : 48)	4,16
61	0	3	0	0
62	3	6	0,0625	6,25
63	1	7	0,02083	2,083
64	0	7	0	0
65	1	8	0,02083	2,083
66	0	8	0	0
67	1	9	0,02083	2,083
68	1	10	0,02083	2,083
69	1	11	0,02083	2,083
70	0	11	0	0
71	1	12	0,02083	2,083
72	1	13	0,02083	2,083
73	3	16	0,0625	6,25
74	2	18	0,0416	4,16
75	5	23	0,10416	10,416
76	3	26	0,0625	6,25
77	1	27	0,02083	2,083
78	3	30	0,0625	6,25
79	1	31	0,02083	2,083
80	0	31	0	0
81	1	32	0,02083	2,083
82	2	34	0,0416	4,16
83	1	35	0,02083	2,083
84	0	35	0	0
85	1	36	0,02083	2,083
86	0	36	0	0
87	1	37	0,02083	2,083
88	3	40	0,0625	6,25
89	1	41	0,02083	2,083
90	1	42	0,02083	2,083
91	0	42	0	0
92	0	42	0	0
93	1	43	0,02083	2,083
94	1	44	0,02083	2,083
95	2	46	0, 0416	4,16
96	0	46	0	0
97	2	48	0,0416	4,16
Frecuencia total	(N)48		1	100 %

En el ejemplo el rango de los datos es:

Rango: 97 - 59 = 38